Wermuth studierte Rechtswissenschaften in Leipzig, Heidelberg und Göttingen und legte sein erstes juristisches Examen in Celle ab. Seit 1882 war er als Assessor bei der Regierung in Oppeln tätig, und von 1883 bis 1909 arbeitete Wermuth im Reichsamt des Innern. Er wurde zum Reichskommissar für die Weltausstellungen in Melbourne (1888/1889) und Chicago (1893) ernannt. 1890 war er als Kommissar für Helgoland zuständig. Als Staatssekretär des Reichsschatzamtes wirkte er bis 1912. Am 30.4.1912 wurde ihm die Kandidatur für das Oberbürgermeisteramt in Berlin angetragen, das er vom 15.5.1912 bis 24.11.1920 ausübte. Zugleich war Wermuth als Nachfolger von Martin Kirschner Vorsitzender des Deutschen Städtetages in den Jahren 1912-1921. Wermuth wurde, aufgestellt von den Fraktionen der SPD und der USPD in der Stadtverordnetenversammlung, der erste Bürgermeister der 1920 geschaffenen neuen Stadtgemeinde Berlin. In den nachrevolutionären Kämpfen der Hauptstadt erlitt er im Herbst 1920 eine Abstimmungsniederlage und trat zurück. Bis zu seinem Tode hat er sich nicht mehr öffentlich politisch betätigt. Sein Grab liegt gleich hinter der Schloßkirche auf dem Kirchhof Alt-Buch.