Der Sohn des Superintendenten und Prinzenerziehers Friedrich Delbrück studierte von 1833 bis 1837 Jura, Geschichte, Ökonomie und Geographie in Halle, Berlin und Bonn. 1839 wurde er Beamter der Provinzialregierung in Merseburg und war ab 1844 im preußischen Handelsamt bzw. Handelsministerium tätig. Er leitete die Angelegenheiten der Zollvereinspolitik. Im Jahre 1849 wurde Delbrück zum Regierungsrat, 1859 zum Geheimen Oberregierungsrat (Ministerialdirektor) ernannt. Besonders verdient machte er sich um die Gründung des Deutschen Reiches; ab 1866 arbeitete er an der Verfassung für den Norddeutschen Bund mit. Delbrück wurde am 12.8.1867 zum Präsidenten des neuen Bundeskanzleramts (ab 1871 Reichskanzleramt) ernannt. Im Jahre 1868 berief man ihn zum preußischen Staatsminister. Damit war Delbrück de facto der Stellvertreter Bismarcks. Als Präsident des Bundeskanzleramtes führte Delbrück ab November 1870 Verhandlungen mit den süddeutschen Teilstaaten über den Eintritt in den Norddeutschen Bund. Diese hatten Erfolg, indem die Staaten am 16.4.1871 die Reichsverfassung akzeptierten. Er hatte mit seinen liberal-preußischen Vorstellungen erheblichen Anteil am Entstehen des geeinten Reiches. Erst die Gründerkrise von 1873 drängte seinen Einfluß zurück. Die wirtschaftliche Depression machte die Freihandelspolitik, deren engagierter Verfechter er stets war, unmöglich. Aus diesem Grund und wegen Differenzen mit Bismarck trat Delbrück am 1.6.1876 als Minister zurück. Von 1878 bis 1881 war er Mitglied des Deutschen Reichstages und ein entschiedener Gegner der Bismarckschen Schutzzollpolitik. 1896 wurde er für seine Verdienste geadelt. Er wohnte (1859) in der Leipziger Straße 89. Sein Grab befindet sich auf dem Friedhof der Dorotheenstädtischen und der Friedrichswerderschen Gemeinde in der Chausseestraße 126.