Nach dem Studium in Berlin war Mönnich im Staatsdienst tätig. Von 1894 bis 1907 war er Mitglied der Ministerial-Baukommission, und von 1907 bis 1922 arbeitete er im Preußischen Ministerium für öffentliche Arbeiten. Mönnich entwarf Gerichtsgebäude in ganz Deutschland und leitete auch deren Bau - in Berlin u. a. das Land- und Amtsgericht in Mitte sowie die Amtsgerichte in Lichtenberg, Pankow, Weißensee, Schöneberg, Charlottenburg, Moabit und Lichterfelde.