Seine Ausbildung zum Mechaniker begann er 1869 in einer Werkstatt in Brooklyn (USA). Dort lernte er den Erfinder und Unternehmer Edinson kennen, mit dem er längere Zeit zusammenarbeitete. 1877 gründete er in New York eine eigene Fabrik und fertigte elektrotechnische Apparate. Er vervollkommnete Edisons Phonographen und stellte für Edisons Glühlampe die notwendigen Geräte zur Installation her. 1891 kehrte Bergmann nach Deutschland zurück und rief in Berlin die "S. Bergmann & Co. AG" ins Leben, die Isolier- und Leitungsrohre produzierte. Zwei Jahre später gründete er die "Bergmann Elektromotoren- und Dynamowerke AG". Beide Unternehmen firmierten ab 1900 unter "Bergmann Elektrizitätswerke AG". Die Technische Hochschule München ehrte Bergmann 1918 mit der Verleihung des Dr.-Ing. Er wohnte bis zu seinem Tod in der Oudenarder Straße 23.