Dessau studierte in Berlin Musik und erhielt 1925 eine Stelle als Kapellmeister an der Städtischen Oper. 1933 mußte er nach Paris emigrieren. Dort setzte er sich mit der Zwölftontechnik auseinander. Seit 1939 lebte und arbeitete Dessau in New York, später in Hollywood. Er wurde u. a. durch die Vertonung von Texten von Bertolt Brecht bekannt. 1948 kehrte er nach Deutschland zurück und ging nach Ostberlin, wo er im Jahre 1959 zum Professor berufen wurde. Seine Musik ist von freier Harmonik, von Zwölftontechnik und Rhythmik charakterisiert. Er komponierte mehrere Opern, u. a. "Das Verhör des Lukullus" (1951/1960), "Puntila" (1966), "Einstein" (1973) sowie "Leonce und Lena" (1978 nach Georg Büchner). Dessau schrieb auch Kantaten, Oratorien, Filmmusiken und Lieder, so 1936 "Die Thälmannkolonne". Sein Grab befindet sich auf dem Kirchhof der Dorotheenstädtischen und Friedrichswerderschen Gemeinde, Chausseestraße 126.