Geschke trat 1910 der SPD, 1917 der USPD bei und wurde 1919 Mitglied der KPD. Ab 1920 war er als Parteifunktionär in der Gewerkschaftsabteilung der KPD-Zentrale tätig, war Mitglied des Vollzugsbüros der Roten Gewerkschaftsinternationale und ab 1924 Mitglied des Exekutivkomitees sowie des Präsidiums der Kommunistischen Internationale. Am 28.2.1933 wurde Geschke verhaftet und in den Konzentrationslagern Lichtenburg, Sonnenburg und Buchenwald gefangengehalten. 1940 entlassen und in Köslin unter Polizeiaufsicht gestellt, wurde er 1944 erneut verhaftet und in das KZ Sachsenhausen eingeliefert, aus dem er im Mai 1945 befreit wurde. Danach war er zunächst Stadtrat für Sozialwesen des ersten Magistrats von Groß-Berlin, 1946-1953 Vorsitzender der Vereinigung der Verfolgten des Naziregimes (VVN) und seit 1953 Präsidiumsmitglied des Komitees der antifaschistischen Widerstandskämpfer.