Böhm besuchte das Realgymnasium in Pankow und studierte danach Theologie an den Universitäten in Berlin und Tübingen, wo er auch promovierte. Die theologischen Staatsexamina legte Böhm in Berlin ab, seine Ordination erhielt er am 28.3.1926 in Tübingen. Anschließend war er als Pfarrer in Langheinersdorf, Kreis Züllichau, tätig. Vom Amt des Referenten im Evangelischen Oberkirchenrat, das er 1930 antrat, wurde er 1933 beurlaubt. Nach einem Einsatz als Pfarrer in der Gemeinde Schönow erhielt er 1934 die Pfarrstelle des Kreises Kölln-Land I. 1934 bis 1943 war er Kriegssiedlungspfarrer in Zehlendorf. Im Oktober 1935 lehnte Böhm in einer Zusammenkunft mit dem Reichskirchenminister die Zusammenarbeit in den durch die Nationalsozialisten gebildeten Kirchenausschüssen ab. Ab 1936 gehörte er – damals noch als Mitglied der NSDAP – der 2. Vorläufigen Kirchenleitung der Bekennenden Kirche als ökumenischer Referent an. Böhm wurde Sprecher der Bekennenden Kirche in Berlin. Er war Mitunterzeichner der Denkschrift aus dem Sommer 1936 an Hitler. Sie behandelte u. a. die Entchristlichung des Volkes, den staatlich geschürten Antisemitismus und Judenhaß, die Fälschungen der Reichstagswahlen, die Existenz von Konzentrationslagern, die Methoden der Gestapo und die systematisch in allen Lebensbereichen betriebene Bespitzelung. Böhm wurde mehrmals inhaftiert, protestierte jedoch weiter gegen die Verfolgung der Juden und der Andersdenkenden. Nach dem 20. Juli 1944 wurde er zum viertenmal verhaftet und in die Prinz-Albrecht-Straße verschleppt. Im April 1945 kam Böhm wieder frei und kehrte nach Zehlendorf zurück. Von 1945 bis 1959 war er Propst von St. Petri und von Berlin. Er war Oberkonsistorialrat im Konsistorium Berlin-Brandenburg.