Brinkmann war ab 1901 als Studienrat und Professor am Zehlendorfer Gymnasium und an der Schadow-Oberschule tätig. Er gehörte zu den Mitbegründern des Steglitzer Heimatvereins (1923), dessen Vorsitzender er war. Von 1946 bis 1952 war er Dozent für Heimatkunde an der Volkshochschule Steglitz. Brinkmann leitete den nach seinem Vater benannten Gesangverein. Seine Grabstätte befindet sich auf dem Friedhof Steglitz, Bergstraße.