Nach dem Besuch des Realgymnasiums erlernte Exner den Beruf eines Industriekaufmanns. 1917 trat er der Gewerkschaft bei und wurde 1926 Sekretär des Allgemeinen Deutschen Gewerkschaftsbundes. Ab Januar 1919 SPD -Mitglied, war er 1929–1933 in Neukölln SPD-Bezirksverordneter. 1933 arbeitete Exner bei der Zeitschrift "Blick in die Welt". Ab 1934 war er Leiter der Einkaufsabteilung im Betrieb Fernmeldegeräte-Industrie Teltow. 1945–1947 leitete er die Preisbehörde der Sowjetischen Besatzungszone. Im Januar 1948 wurde er Bürgermeister in Prenzlauer Berg, legte dieses Amt jedoch im Dezember desselben Jahres nieder, da er die Zusammenarbeit mit den Vertretern der anderen Parteien, der Blockparteien, ablehnte. 1949-1959 war er Bezirksbürgermeister in Neukölln, 1959–1967 stellvertretendes Mitglied im Deutschen Bundesrat. Dem Abgeordnetenhaus von Berlin gehörte er 1950, 1954 und 1958/59 sowie 1963–1971 an. 1971 wurde er vom Berliner Abgeordnetenhaus als Stadtältester geehrt. 1976 erhielt er die Ernst-Reuter-Plakette. Exner wurde in einem Ehrengrab auf dem Landeseigenen Parkfriedhof in Neukölln bestattet.