Er besuchte das Gymnasium in Berlin und lernte Textilkaufmann. Während der faschistischen Diktatur mußte Galinski Zwangsarbeit bei Siemens leisten, bevor er mit seiner Familie im Februar 1943 in das Konzentrationslager Auschwitz deportiert wurde. Von Auschwitz kam er nach Dora-Nordhausen, das Außenlager des Konzentrationslagers Buchenwald, und von dort nach Bergen-Belsen. Als das Lager befreit wurde, hatte er als einziger seiner Familie überlebt. Galinski gehörte 1945 zu den Neubegründern der Jüdischen Gemeinde zu Berlin. Er war 1947 stellvertretender Leiter des Hauptamtes Opfer des Faschismus, Abteilung Nürnberger Gesetze, und bis zum 25.11.1948 stellvertretender Vorsitzender der VVN Groß-Berlin. Er begann gemeinsam mit anderen Überlebenden mit dem Aufbau der Jüdischen Gemeinde zu Berlin und kandidierte im Januar 1948 erfolgreich bei den Wahlen zu ihrer Repräsentantenversammlung. 1949–1953 war Galinski Vorsitzender der Jüdischen Gemeinde zu Berlin, 1953–1989 in Berlin-West. 1951–1963 und erneut ab 1988 hatte er den Vorsitz des Direktoriums des Zentralrates der Juden in Deutschland. Er bemühte sich erfolgreich um die Aussöhnung von Juden und Nichtjuden sowie um die Bewahrung des jüdischen Kulturerbes. Am 26.11.1987 wurde Heinz Galinski anläßlich seines 75. Geburtstages Ehrenbürger von Berlin. Bestattet wurde er auf dem Jüdischen Friedhof in Charlottenburg, Scholzplatz.